Nesta elegante obra, pela primeira vez trazida ao público em 1919 e escrita aquando de uma passagem do seu autor pela prisão, Bertrand Russell apresenta-nos um resumo dos seus principais resultados na Filosofia da Matemática, em particular do seu programa Logicista, desenvolvido em detalhe em Principia Mathematica (uma extensa obra de 3 volumes, escritos em conjunto com A. N. Whitehead e publicados entre 1910 e 1913), bem como a articulação que se estabelece entre estes resultados e algumas teses cruciais nos domínios da Filosofia da Linguagem, nomeadamente a sua Teoria das Descrições Definidas, apresentada pela primeira vez no célebre artigo “On Denoting” (Mind, 1905), e da Filosofia da Lógica, com destaque para a Teoria dos Tipos (desenhada para evitar “A Contradição”, de que abaixo falaremos). Ficam de fora, de entre o conjunto de resultados que constituem um todo filosófico coerente, dos quais os acima referidos são uma parte crucial, os aspetos relacionados com a Teoria do Conhecimento e com a Metafisica. […]

O Logicismo, toscamente falando, é a doutrina segundo a qual as frases da Matemática pura, em particular da Aritmética elementar, podem ser reescritas usando apenas a linguagem da Lógica, em particular, a linguagem do Cálculo de Predicados com Identidade. A ideia é a de que a Matemática se deixa assim derivar da Lógica: as suas definições, os seus axiomas e finalmente os seus teoremas podem ser respetivamente formulados (os dois primeiros), usando a linguagem da Lógica, e derivados (o último), a partir destes, usando as regras de inferência da Lógica. Uma boa parte do livro que agora apresentamos na língua portuguesa dedica-se a mostrar como isto pode ser feito. Bertrand Russell foi, juntamente com Gottlob Frege, um dos principais impulsionadores deste projeto, o qual começou a ser implementado por este último nos finais do século XIX, e só 30 anos mais tarde viria a ser finalmente abandonado, quando Kurt Gödel mostrou o Teorema da Incompletude da Aritmética (1931) e, através dele, o resultado de que o Logicismo está muito provavelmente condenado ao fracasso. Foi precisamente o conjunto de axiomas apresentado por Frege em Grundgesetze der Arithmetik (1893-1903), e analisado por Russell, que levou este último a identificar aquilo a que viria a chamar “A Contradição”, no virar do século, entre a publicação dos dois volumes da magna obra de Frege, na base do Axioma V aí apresentado e dos conceitos elementares da Teoria dos Conjuntos, a solução da qual conduziu à Teoria dos Tipos como sendo uma parte essencial para que tal fosse atingido. Numa palavra, esta última, tomada em conjunto com a Teoria das Descrições Definidas, deram a Russell os meios de que necessitava para resolver os problemas levantados pela descoberta de “A Contradição”.

A obra Introdução à Filosofia Matemática espelha de um modo óbvio o conjunto de problemas que acabámos de explicitar e que dão muito sucintamente o seu (da obra) enquadramento teórico.

(Da introdução de Adriana Silva Graça)