Telmo Costa iniciou os seus estudos musicais, com José Amério Belinha, na Tuna Musical de São Paio de Oleiros, aos sete anos de idade. Posteriormente, ingressou na Academia de Música de Paços de Brandão, onde terminou o oitavo grau, com a classificação máxima, na classe de Hélder Tavares. Frequentou master-classes de professores como António Saiote, Nuno Pinto, Florent Héau, François Benda, Kilian Herold e Harri Mäki, entre outros.

Foi galardoado em concursos nacionais e internacionais, dos quais se destacam o 1.º Prémio no Concurso Luso-Espanhol em Fafe, o 1.º Prémio no International Clarinet Competition APC, o Golden Prize do Vienna International Music Competition, o 1.º Prémio no North International Music Competition e o 1.º Prémio no Prémio Jovens Músicos, na categoria de clarinete – nível superior. Neste mesmo concurso foi-lhe ainda atribuído o Prémio Maestro Silva Pereira, o European Union of Music Competitions for Youth Prize e o Prémio Círculo Richard Wagner.

Relativamente à sua experiência orquestral, integrou a Jovem Orquestra Portuguesa (2013-2017), o Estágio Gulbenkian para Orquestra (2017 e 2018), a Gustav Mahler Jugendorchester (2016 e 2018), a Neue Philharmonie München (2018) e a Schweizer Jugendsinfonieorchester (2018). Colaborou também com a Orquestra Filarmónica Portuguesa, a Sinfónica e Lucerna e a Orquestra do Real Concertgebouw de Amesterdão. Em 2019 ganhou o lugar de academista na Sinfónica de Lucerna e o lugar de 1.º Solista co-principal na Orquestra Gulbenkian. Prossegue atualmente os seus estudos na Hochschule für Musik, em Basileia, na Suíça, na classe de François Benda.