Joseph Alessi é o trombonista principal da Orquestra Filarmónica de Nova Iorque desde 1985. Iniciou a sua formação musical com o pai, o trompetista Joseph Alessi, Sr., e estudou no Curtis Institute of Music, em Filadélfia. Antes de ingressar na Filarmónica de Nova Iorque, foi segundo trombonista da Orquestra de Filadélfia e trombonista principal da Orquestra sinfónica de Montreal. Como trombonista principal convidado, colaborou com a Sinfónica de Londres, no Carnegie Hall, sob a direção de Pierre Boulez.

Para além das suas atividades como músico de orquestra e solista, Joseph Alessi atua também com regularidade em contexto de música de câmara. Em abril de 1990, estreou-se como solista com a Filarmónica de Nova Iorque, tendo então interpretado a Fantasia para Trombone de Paul Creston. Em 1992 estreou o Concerto para Tronbone de Christopher Rouse, obra encomendada pela Filarmónica de Nova Iorque para celebrar o seu 150.º aniversário e premiada com o Prémio Pulitzer. Com a mesma orquestra, foi o solista dos concertos para trombone de Kazimierz Serocki, Bramwell Tovey, William Bolcom e William Grant Still.  Em 2021 tocou na estreia mundial do Concerto para Trombone: A Stroll, de Chick Corea. Gravou e atuou extensivamente com quatro proeminentes quartetos: o New York Trombone Quartet, o Four of a Kind Trombone Quartet, o World Trombone Quartet, e o Slide Monsters Trombone Quartet.

Outras atuações como solista incluíram colaborações com a Nova Filarmónica do Japão, a Filarmónica de Nagoya, a Orquestra do Teatro Bellini, a Orquestra do Teatro Nacional de Mannheim, a Residentie Orkest Den Haag, a Filarmónica de Helsínquia e as Orquestras Sinfónicas do Colorado, de Alabama, de Santa Barbara, de Siracusa e de Porto Rico. Participou em numerosos festivais, incluindo: Festival de Música de Câmara de Protogruaro (Itália); Cabrillo Music Festival; Swiss Brass Week; Lieksa Brass Week (Finlândia); Festival Internacional de Trombone de Feldkirch (Áustria); Encontro Internacional de Metais de Lille (França). Em 2002 foi premiado pela International Trombone Association em reconhecimento das suas relevantes contribuições nos domínios da interpretação e da música para trombone. Em 2014 foi nomeado Presidente da mesma associação.

Joseph Alessi leciona na Juilliard School de Nova Iorque. Os seus antigos e atuais alunos integram muitas das principais orquestras nos Estados Unidos da América e internacionalmente. Como especialista e mestre na sua área, colabora com a Eastman-Shires Instrument Co. e orienta regularmente cursos de aperfeiçoamento por todo o mundo.

A discografia de Joseph Alessi inclui vários álbuns editados pela Summit Records. Gravou também New York Legends para a Cala Records. Uma gravação ao vivo do Concerto para Trombone de Christopher Rouse integra a coletânea An American Celebration, lançada pela New York Philharmonic Special Editions, uma etiqueta da orquestra nova-iorquina.

Joseph Alessi toca exclusivamente um trombone modelo Shires-Alessi.