Alexander Melnikov diplomou-se pelo Conservatório de Moscovo, na classe de Lev Naumov. Nessa altura, destaca-se um encontro inicial com o lendário pianista Sviatoslav Richter, que o viria a convidar regularmente para festivais na Rússia e em França. Melnikov foi premiado em eminentes competições como o Concurso Internacional Robert Schumann (Zwickau, 1989) ou o Concurso Rainha Elisabeth (Bruxelas, 1991). Desde muito cedo, cultivou um interesse particular pelas interpretações de época. As suas maiores influências neste campo incluem Andreas Staier e Alexei Lubimov, bem como as colaborações com agrupamentos como Freiburger Barockorchester, Musica Aeterna ou Akademie für Alte Musik Berlin.

Como solista, atuou com muitas das grandes orquestras mundiais, incluindo a Orquestra do Real Concertgebouw de Amesterdão, a Orquestra do Gewandhaus de Leipzig, a NDR Elbphilharmonie Orchester, a HR-Sinfonieorchester ou as Filarmónicas de Munique, Roterdão e da BBC, sob a direção de maestros como Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi, Thomas Dausgaard, Maxim Emelyanychev ou Vladimir Jurowski. Uma parte essencial do trabalho de Alexander Melnikov está relacionada com a música de câmara, em colaboração com artistas como o violoncelista Jean-Guihen Queyras ou a violinista Isabelle Faust, tendo realizado várias gravações distinguidas com prémios internacionais.

A temporada 2024/25 inclui uma residência no Konzerthaus de Viena, com uma programa solo, um concerto de música de câmara e um concerto com a Sinfónica de Viena, sob a direção do maestro Christoph Eschenbach. A preenchida agenda de Melnikov inclui ainda concertos no Japão, nos EUA e na Europa, com a Orquestra Gulbenkian, a Filarmónica de Munique, a Orquestra do Konzerthaus de Berlim, a Orchestra della Svizzera Italiana, a Gürzenich Orchestra, a Kammerakademie Potsdam, a Orquestra de Câmara de Basileia ou a Orquestra de Câmara Australiana, sob a direção de Ivor Bolton, Maxim Emelyanychev, Hannu Lintu, Daniel Cohen, Anja Bihlmaier e Giovanni Antonini. A música de câmara inclui várias formações, em concertos em Helsínquia, Copenhaga, Berlim, Lyon, Amesterdão, Bona, Vancouver, Seattle ou Londres. Os recitais a solo incluem Berlim, Colónia, Lyon, Praga, Madrid, Yokohama e Tóquio, entre outras cidades.